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Limiti e continuità

Dagli studenti, per gli studenti

Limiti e continuità

12/06/2020 PIÙ DI 60 0
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MATEMATICA: GLI APPUNTI DI LUCIO

Per studiare il comportamento di funzioni reali risultano molto utili le nozioni del calcolo di limiti. Per una loro comprensione completa, si preferisce normalmente lavorare con i limiti di successioni. Ampliando, in un secondo tempo, il concetto di limite a tutte le funzioni reali.

Successioni

Una successione è una tipologia di funzione particolare che, a un elemento appartenente ai numeri naturali (o a un suo sottoinsieme), fa corrispondere un valore reale in base a una determinata regola.

a:\N \rightarrow \R,\quad a_n=a(n)

Limiti di successioni

Studiare il limite di una successione corrisponde a comprendere il suo comportamento per un valore di n sempre più grande.
I casi sono 2:

  • una successione converge: al crescere di n, il valore della successione si stabilizza attorno a un valore finito;
  • la successione diverge: ovvero per n sempre più grande, anche a(n) assume valori sempre più grandi (o sempre più piccoli).

Prima di definirli in maniera più rigorosa, è necessario introdurre il concetto di intorno. Un intorno di un valore generico x è un intervallo che contiene x.

I(x)=(a; b), \: con \: x\in I(x)

A noi però interessa una classe di intorni specifica. Un epsilon-intorno di x è un intervallo che ha come estremi i punti che distano epsilon da x. Di conseguenza ha come centro il valore x.

I_\epsilon(x)=(x-\epsilon; x + \epsilon), \: con \: x\in I(x) \: e \: \epsilon>0

Si dice che una successione converge al valore limite L se tutti gli elementi della successione sono contenuti in un epsilon-intorno di L, a partire da un determinato indice N-epsilon. Fissato un epsilon piccolo a piacere, la successione converge se e solo se esiste un valore a partire dal quale la successione è contenuta nell’epsilon-intorno di L. Ogni elemento della successione, a partire da N-epsilon, deve distare meno di epsilon dal limite.

\lim_{n \to \infty} a(n) = L \iff \forall\epsilon>0 \:\exist\:N_\epsilon>0 \: tc \quad se\:n>N_\epsilon\Rightarrow |a_n-L|<\epsilon

Una successione si dice nulla se converge a 0

\lim_{n\to\infty}a(n)=0

Si dice che una successione diverge se, fissato un valore M grande a piacere, tutti i termini successivi a un determinato indice (dipendente da M) sono maggiori di M.

\lim_{n\to\infty}a(n)=+\infty\iff \forall M>0 \: \exist \: N_M>0\:tc \quad a(n)>M \:\forall n>N_M

Analogamente, una successione diverge se, fissato un M negativo molto grande, tutti gli elementi successivi a N(M) sono minori di M.

Alcune osservazioni

  • Il limite di una successione, se esiste, è unico.
  • Anche se non è stato trattato, è utile ricordare che le successioni possono essere espresse in due forme:
    • forma ricorsiva: viene fornito un primo valore (ancoraggio) e una legge che permette di passare dall’n-esimo termine all’n+1-esimo termine.
    • forma esplicita: una legge consente di calcolare l’n-esimo termine della successione.
      Bisogna tenere presente che non sempre è semplice passare da una forma all’altra
  • Una successione si dice:
    • monotona crescente: se ogni termine successivo è maggiore uguale del precedente;
    • monotona decrescente: se ogni termine successivo è minore uguale al precedente
    • strettamente crescente / decrescente: se il termine successivo è maggiore / minore del precedente.

Limiti di funzioni reali

Prima di affrontare il fulcro di questo articolo, ovvero la transizione tra la definizione di limite per una successione a quello per una funzione, è necessario definire il concetto di punto di accumulazione.

c in R è un punto di accumulazione dell’insieme X incluso in R se esiste una successione che rispetta 3 condizioni:

  • tutti i suoi valori sono contenuti in X;
  • il punto c non appartiene all’insieme delle immagini della successione;
  • il limite della successione è uguale a c.
c\in\R\: è\:un\:pda\:di\:X\subseteq\R\:se\:\exist\:(x_n)_{n\in\N}\:con: \\ x_n\in X \: \forall n\in\N\setminus \{c\} \\ e\: \lim_{x\to\infty}x_n=c

Siamo quindi di fronte a una successione che sempre più si avvicina a un valore limite, punto nel quale evidentemente vorremo calcolare il limite di una funzione.

Da notare come c, in quanto limite di una successione, potrebbe anche tendere a +/- infinito.

Sia\:f:X\rightarrow\R \: e \: c\in\R \: un \: pda \: di \: X, allora \\ \lim_{x\to c}f(x)=L

La funzione tende a L per x tendente a c. Tanto più la successione x(n) si avvicina al punto da studiare c, quanto più il valore della funzione f(x) si avvicina, se esiste, al valore del limite L.

Limite destro e sinistro

Nella definizione di limite valutiamo un intorno che pone c al centro. Se però la funzione è definita soltanto in una porzione di intervallo o presenta un punto di discontinuità in c, è necessario differenziare i due casi, destra e sinistra. Con f una funzione reale, e n tendente a +infinito, diremo che:

  • a(n) tende a c da destra se a(n) tende a c e a(n) > c per ogni n > N
  • a(n) tende a c da sinistra se a(n) tende a c e a(n) > c per ogni n > N

In questi casi si utilizzano rispettivamente le seguenti notazioni:

\lim_{x\to c^+} \quad e \quad \lim_{x\to c^-}

Limiti e asintoti

Una funzione presenta un asintoto verticale in c se il limite – destro, sinistro o coincidente – in quel punto diverge a +/- infinito.

\lim_{x\to c^{\pm}}f(x)=\pm \infty \quad (c\in \R)

Ha invece un asintoto orizzontale se, per x tendente a +/- infinito, il valore della funzione tende a un numero finito L.

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L \quad (L\in\R)

Regole di calcolo dei limiti

Prima di vedere nel dettaglio alcune tecniche per ricavare rapidamente il valore di un limite, è opportuno elencare le regole principali per quanto riguarda la loro combinazione con le operazioni di base.

Se \: \lim_{x\to c}f(x)=A\quad e \quad \lim_{x\to c}g(x)=B

valgono le seguenti proprietà per somma, moltiplicazione, divisione e potenza:

\lim_{x\to c}f(x)\pm g(x)=A \pm B
\lim_{x\to c}f(x)\cdot g(x)=A\cdot B
\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}
\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}=A^B

Le operazioni algebriche sono quindi compatibili con il calcolo dei limiti, anche destro e sinistro, ammesso che siano determinati: A e B elementi di R.

Calcolo immediato di limiti

In molti casi è possibile calcolare il valore di un limite attraverso delle semplificazioni e astrazioni delle funzioni considerate.

Per esempio nel seguente caso è possibile studiare il limite del numeratore e del denominatore separatamente per giungere alla conclusione:

\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}= \bigg[ \frac{1}{\infty} \bigg]=0

Tra parentesi viene utilizzata la cosiddetta forma simbolica, che aiuta appunto a studiare un limite con maggiore facilità.

Risulta particolarmente semplice lavorare con i limiti di polinomi. Se il grado massimo è al numeratore la funzione diverge; se invece è al denominatore, tenderà a 0.
Nel caso in cui i gradi siano uguali, si procede mettendo in evidenza il grado massimo e si osserva che gli altri contributi tendono a 0. Di conseguenza il valore del limite corrisponde al rapporto fra i due coefficienti del grado massimo.

\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3+2x-3}{4x^3+x^2-x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3\cdot \big(5+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x^3} \big)}{x^3\cdot \big(4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\big)}=\frac{5}{4}

Come si può osservare, il limite era intuibile già in partenza, essendo 5 e 4 i due coefficienti del grado massimo.

Forme di indecisione

I limiti che vengono normalmente richiesti non hanno forme che si possono risolvere con tale semplicità. A una prima analisi otteniamo infatti delle forme di indecisione. Casi nei quali non è possibile determinare senza ulteriori calcoli quale sarà il risultato finale.
Basandosi su alcuni semplici esempi, in questo articolo si vuole offrire una panoramica di base sulle ragioni e gli strumenti che si possono utilizzare. Per una spiegazione e dimostrazione formale si raccomanda la lettura di testi specifici.

\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\bigg[ \frac{0}{0}\bigg]

A questo punto è necessario sviluppare altre tecniche per risolvere il limite, non ottenendo un risultato certo dalle forme simboliche. Prima fra tutte la semplificazione della funzione: quando è possibile conviene sempre ridurre il calcolo a blocchi più semplici.

\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)\cdot(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}x+2=4

Scopriamo in questo caso che la tentazione di risolvere uguale a 0 il limite sarebbe risultata falsa.

Teorema di De L’Hôpital

Di fronte a forme di indecisione del tipo:

\bigg[ \frac{0}{0}\bigg] \quad o \quad \bigg[ \frac{\infty}{\infty}\bigg]

è possibile applicare il teorema di De L’Hôpital, enunciato come segue:
Siano f e g due funzioni continue in [a, b] e derivabili in (a, b), sia inoltre g'(x0) diverso da 0. Se esiste il seguente limite

L=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Allora vale:

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L

\lim_{x\to 0^+}x\cdot ln(x)=[0\cdot\infty]=\lim_{x\to 0^+}\frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}=\bigg[\frac{-\infty}{\infty}\bigg]

Una volta ottenuta una forma di indecisione compatibile, possiamo derivare numeratore e denominatore separatamente.

\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{-x^2}{x}=\lim_{x\to 0^+}-x=0

Polinomi di Taylor

In alternativa, oltre all’identificazione dei limiti notevoli (qui non trattata), è possibile approssimare una funzione complessa a un polinomio e procedere in seguito come siamo abituati.

Sia f una funziona continua derivabile n-1 volte in (a, b), sia x0 elemento di (a, b). Allora il polinomio di Taylor dell’n-esimo grado è:

p_n(x, x_0)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k

A questo punto è sufficiente ragionare come spiegato sopra.

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